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viernes, 12 de diciembre de 2008

Educación: Cómo deducir senos y cosenos sin el uso de calculadora.


Por Jorge Kamlofsky
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Hay infinidad de oportunidades en las que uno no cuenta con una calculadora, por lo que muchas veces puede resultar de utilidad deducir mentalmente los valores de algunos senos y cosenos. Para ello, hay dos tablas que es necesario recordar de memoria. Luego se presentan formas para recordar cómo construirlas fácilmente.


Los signos de la función en cada cuadrante:

La tabla de valores de la función en los ángulos principales:

Tabla expresada en números reales: redondeado a 4 decimales de máximo.


Tabla expresada con raíces:


La circunferencia trigonométrica:


Encause del problema:

o Si el ángulo es menor que 0° o mayor que 360°: Sumar o restar tantas veces como sea necesario hasta que el ángulo se encuentre entre 0° y 360°.

o Si el ángulo es ahora, mayor a 90°: ubicar el cuadrante,

aplicar la tabla de signos que le corresponda, restar 90° 0 180° o 270° hasta que se encuentre en el primer cuadrante y luego aplicar la tabla de valores.


Para ambos cuadros expresados anteriormente se tiene también, una explicación simple para recordarlos más fácilmente.


Nótese que toda la explicación de valores se da para el primer cuadrante. Para el resto, no queda más de sumar, restar, deducir, y aplicar la variación del signo.


Variación del signo de las funciones trigonométricas elementales.

Recordar que en el primer cuadrante:

  • El “Seno” “Sube” de 0 a 1, mientras que el “Coseno” “Cae” de 1 a 0.

Variación de signos del Seno.

Variación de signos del Coseno.

Tablas de valores:

El seno y el coseno son las funciones trigonométricas elementales. A continuación, algunas premisas para recordar la deducción de los valores de senos y cosenos en algunos ángulos muy usados:

  • Se puede observar que una función en un ángulo tiene el mismo valor que la otra en el ángulo complementario. P/ej: Cos(60°)=Sen(30°)=1/2.
  • El “Seno” “Sube” de 0 a 1, mientras que el “Coseno” “Cae” de 1 a 0.
  • Así, entonces, solo es necesario trabajar sobre una de ella ya que los valores de la otra serán el valor del ángulo complementario.
  • Para el “Seno” que “Sube” de 0 a 1. Expresemos sus valores:
    • Numerar los ángulos de la tabla de 0 a 4.
    • Aplicar raiz cuadrada.
    • Dividir por “2”.
Repitamos para el “Coseno” que “Cae” de 1 a 0, pero en sentido inverso. Tendremos una tabla como la que se muestra a continuación:

  • Calculamos los valores de las raíces y la tabla de valores queda.

Que es la tabla expresada con raíces, presentada más arriba.


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